Question

12．如图，正方形ABCD的边长等于2，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，BE=2AF=2，EF=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）求三棱锥C-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，记AC∩BD=O，取DE的中点G，连结OG、FG，推导出四边形AOGF是平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．
（Ⅱ）在面ABEF中，过F作FH∥AB，交BE于点H，推导出FE⊥EB，从而FE⊥AF，三棱锥C-DEF的体积V_C-DEF=V_A-DEF=V_D-AEF，由此能求出三棱锥C-DEF的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，记AC∩BD=O，取DE的中点G，连结OG、FG，
∵点O、G分别是BD和ED的中点，∴OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE，
又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$，∴OG$\underset{∥}{=}$AF，∴四边形AOGF是平行四边形，
∴AO∥FG，即AC∥FG，
又AC?面DEF，FG?平面DEF，
∴AC∥平面DEF．
解：（Ⅱ）在面ABEF中，过F作FH∥AB，交BE于点H，
由已知条件知，在梯形ABEF中，AB=FH=2，EF=$\sqrt{3}$，EH=1，
∴FH²=EF²+EH²，即FE⊥EB，从而FE⊥AF，
∵AC∥平面DEF，∴点C到平面DEF的距离为AF=BH=2-1=1，∠AFE=90°，
∴${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×AF×EF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱锥C-DEF的体积V_C-DEF=V_A-DEF=V_D-AEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEF}×AD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．