Question

8．如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若三棱锥P-AEC的体积为1，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的来证明线面平行；
（2）在三棱锥中利用等体积法来求点到面的距离；

解答 解：（Ⅰ）证明：如右图，连接BD交AC于点O，连接OE．
∵点O，E分别为BD，PD的中点，∴OE∥PB．
又PB?平面AEC，OE?平面AEC，∴PB∥平面AEC．  

（Ⅱ）解：V_{三棱锥P-AEC}=V_{三棱锥P-ACD}-V_{三棱锥E-ACD}=$\frac{1}{2}{V_{三棱锥P-ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}\;•\;{S_{△ACD}}\;•\;PA$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin\frac{π}{3}\;•\;PA=1$，∴$PA=2\sqrt{3}$．
设点A到平面PBC的距离为d，则V_{三棱锥A-PBC}=V_{三棱锥P-ABC}=V_{三棱锥P-ACD}=2．
在Rt△PAB中，$PB=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
在Rt△PAC中，$PC=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
在△PBC中，${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}=\sqrt{15}$，∴$\frac{1}{3}\;•\;{S_{△PBC}}\;•\;d=2$，∴$\frac{1}{3}×\sqrt{15}d=2$，∴$d=\frac{2}{5}\sqrt{15}$，
∴点A到平面PBC的距离为$\frac{2}{5}\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了空间立体几何体线面平行判定定理、等体积法的应用，属基础题．