Question

18．观察下列不等式：
$\begin{array}{l}\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}，\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{13}＜\frac{1}{3}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}＜\frac{3}{8}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+\frac{1}{41}＜\frac{2}{5}\\…\end{array}$
则第n个不等式为$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2{n}^{2}+2n+1}$＜$\frac{n}{2n+2}$．

Answer 1

分析 设左边的分母为数列{a_n}，则a_n=2n²+2n+1，右边分子为1，分母组成以4为首项，2为公差的等差数列，满足2n+2，即可得出第n个不等式．

解答 解：设左边的分母为数列{a_n}，则a_n=2n²+2n+1，右边分子为1，分母组成以4为首项，2为公差的等差数列，满足2n+2，
∴第n个不等式为$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2{n}^{2}+2n+1}$＜$\frac{n}{2n+2}$，
故答案为$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2{n}^{2}+2n+1}$＜$\frac{n}{2n+2}$，

点评 本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键．