Question

17．观察下列等式：
a²-b²=（a-b）（a+b）
a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³），…，
照此规律，aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为（a-b），另一项每一项的次数均为n-1，而且按照字母a的降幂排列，故可得答案．

解答 解：由题意，当n=1时，有（a-b）（a+b）=a²-b²；
当n=2时，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
当n=3时，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
当n=4时，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；
所以得到猜想：当n∈N^*时，有（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ；
故答案为（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）．

点评 本题的考点是归纳推理，主要考查信息的处理，关键是根据所给信息，可知两因式中，一项为（a-b），另一项每一项的次数均为n-1，而且按照字母a的降幂排列．