Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-1，则满足$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$的最大正整数n的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 S_n=2a_n-1，n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式可得：a_n=2^n-1.$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$化为：2^n-1≤2n，即2ⁿ≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2ⁿ=（1+1）ⁿ，利用二项式定理展开即可得出．2ⁿ＞4n．

解答 解：S_n=2a_n-1，n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2．
a_n=2^n-1．
$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$化为：2^n-1≤2n，即2ⁿ≤4n．
n=1，2，3，4时都成立．
n≥5时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=$1+{∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$+…+${∁}_{n}^{n-2}$+${∁}_{n}^{n-1}$+${∁}_{n}^{n}$≥2（$1+{∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$）=n²+n+2，
下面证明：n²+n+2＞4n，
作差：n²+n+2-4n=n²-3n+2=（n-1）（n-2）＞0，
∴n²+n+2＞4n，
则满足$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$的最大正整数n的值为4．
故答案为：C．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．