Question

12．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）AA₁=2$\sqrt{2}$，求异面直线EF与BC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结BD₁，推导出EF∥D₁B，由此能证明EF∥平面ABC₁D₁．
（2）由EF∥BD₁，知∠D₁BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与BC所成的角的大小．

解答 证明：（1）连结BD₁，
在△DD₁B中，E、F分别是D₁D、DB的中点，
∴EF是△DD₁B的中位线，
∴EF∥D₁B，
∵D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
解：（2）∵AA₁=2$\sqrt{2}$，AB=2，EF∥BD₁，
∴∠D₁BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面CDD₁C₁，CD₁?平面CDD₁C₁，
∴BC⊥CD₁．
在Rt△D₁C₁C中，BC=2，CD₁=2$\sqrt{3}$，D₁C⊥BC，
∴tan∠D₁BC=$\frac{{D}_{1}C}{BC}=\sqrt{3}$，
∴∠D₁BC=60°，
∴异面直线EF与BC所成的角的大小为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．