Question

7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD上一点，AB=AD=3，AA₁=2，CE=1，P是AA₁上一点，且DP∥平面AEB₁，F是棱DD₁与平面BEP的交点，则DF的长为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{8}{9}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 在棱AB上取点M，使得BM=1，
过点M作MN∥BB₁，交AB₁于N，连接EM、EN，
证明平面EMN∥平面ADD₁A₁，求出MN的值，
由AP=MN得出DP∥平面AEB；
再取DG=AP，连接CG，利用平行关系求出DF的长．

解答 解：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB上取点M，使得BM=1，
过点M作MN∥BB₁，交AB₁于N，连接EM、EN，如图所示；
则平面EMN∥平面ADD₁A₁；
∵BB₁=2AM=2BM，
∴MN=$\frac{4}{3}$，
∴当AP=MN=$\frac{4}{3}$时，DP∥EN，
即DP∥平面AEB₁；
∵F是棱DD₁与平面BEP的交点，
∴EF∥BP；
取DG=AP=$\frac{4}{3}$，连接CG，则CG∥BP，
∴EF∥CG，
∴DF=$\frac{2}{3}$DG=$\frac{8}{9}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了求线段长的应用问题，是综合题．