Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（1，2），|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°．
（1）求与$\overrightarrow a$垂直的单位向量的坐标；
（2）求向量$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$上的投影．

Answer 1

分析 （1）设与$\overrightarrow a$垂直的单位向量为$\overrightarrow{c}$=（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=0}\\{|\overrightarrow{c}|=1}\end{array}\right.$，列方程组求出x、y的值即可；
（2）根据平面向量投影的定义，利用数量积与夹角公式计算即可．

解答 解：向量$\overrightarrow a=（1，2），|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ为60°．
（1）设与$\overrightarrow a$垂直的单位向量为$\overrightarrow{c}$=（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=0}\\{|\overrightarrow{c}|=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
（2）∵（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$
=2×$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$×1×cos60°-（1²+2²）
=$\sqrt{5}$-5，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，
∴向量$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$在$\overrightarrow a$上的投影为：
|$\overrightarrow{2b}$-$\overrightarrow{a}$|cos＜2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}}$=1-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了解方程组以及平面向量投影的定义与应用问题，是综合题．