Question

19．若直线ax+y-3=0与2x-y+2=0垂直，则二项式${（\frac{x}{a}-\frac{1}{x}）}^{5}$展开式中x³的系数为-80．

Answer 1

分析 根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x³的系数．

解答 解：直线ax+y-3=0与2x-y+2=0垂直，
∴2a+1×（-1）=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
∴二项式（$\frac{x}{a}$-$\frac{1}{x}$）⁵ =（2x-$\frac{1}{x}$）⁵展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（2x）^5-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•2^5-r•${C}_{5}^{r}$•x^5-2r，
令5-2r=3，求得r=1，
∴展开式中x³的系数为-1•2⁴•${C}_{5}^{1}$=-80．
故答案为：-80．

点评 本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．