Question

10．在数列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=$\frac{a_n}{2^n}$，求证数列{c_n}是等差数列；
 （3）在（2）的条件下设d_n=$\frac{1}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$，求{d_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）S_n+1=4a_n+2，n≥2时，可得：S_n=4a_n-1+2，相减可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可证明．
  （2）由（1）可得：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，n≥2．可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，即c_n-c_n-1=$\frac{3}{2}$，即可证明．
（3）在（2）的条件下，c_n=$\frac{3n-2}{2}$．可得d_n=$\frac{1}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$=$\frac{4}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{4}{3}$$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n+1=4a_n+2，n≥2时，可得：S_n=4a_n-1+2，相减可得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1，
n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1．解得a₂=5．
∴a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为3，公比为2．
  （2）证明：由（1）可得：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，n≥2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，即c_n-c_n-1=$\frac{3}{2}$，c₁=$\frac{1}{2}$．
∴数列{c_n}是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{3}{2}$．
（3）解：在（2）的条件下，c_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}（n-1）$=$\frac{3n-2}{2}$．
d_n=$\frac{1}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$=$\frac{4}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{4}{3}$$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴{d_n}的前n项和=$\frac{4}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{4}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{4}{3n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．