Question

10．已知α是△ABC的一个内角，且$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求$\frac{{sinxcosx+{{sin}^2}x}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）α是三角形的一个内角，利用$sinα+cosα=\frac{1}{5}$∈（0，1），可知此三角形是钝角三角形．
（Ⅱ）已知等式记作①，将已知等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系sin²x+cos²x=1化简，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化简（sinx-cosx）²，再利用同角三角函数间的基本关系化简，并将2sinxcosx的值代入，开方得到sinx-cosx的值，记作②，可得出cosx-sinx的值；联立①②组成方程组，求出方程组的解得到sinx与cosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值，将sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化简后即可求出所求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）解：∵α是三角形的一个内角，
∴sinα＞0，
又$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=$\frac{1}{25}$，
∴2sinα•cosα=-$\frac{24}{25}$＜0，sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，
∴此三角形是钝角三角形．
（Ⅱ）∵0＜x＜π，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$①，
∴（sinx+cosx）²=$\frac{1}{25}$，即sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
∴2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-sin2x=$\frac{49}{25}$，
∴sinx-cosx=$\frac{7}{5}$②，
则cosx-sinx=-$\frac{7}{5}$；
联立①②解得：sinx=$\frac{4}{5}$，cosx=-$\frac{3}{5}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\frac{4}{3}$，
则 $\frac{{sinxcosx+{{sin}^2}x}}{1-tanx}$=$\frac{\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）-（\frac{4}{5}）^{2}}{1-（-\frac{4}{3}）}$=-$\frac{12}{25}$．

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．