Question

2．已知$f（k）=sin\frac{kπ}{4}$，k∈Z．
（1）求证：f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（2020）的值．

Answer 1

分析 （1）代入计算，即可证明结论；
（2）由（1）可知，从第一项开始，每8项的和为0，即可求f（1）+f（2）+…+f（2020）的值．

解答 （1）证明：f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）
=$sin\frac{π}{4}+sin\frac{2π}{4}+sin\frac{3π}{4}+sin\frac{4π}{4}+sin\frac{5π}{4}+sin\frac{6π}{4}+sin\frac{7π}{4}+sin\frac{8π}{4}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+0+（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+（-1）+（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+0=0$，
f（9）+f（10）+…$+f（16）=sin\frac{9π}{4}+sin\frac{10π}{4}+sin\frac{10π}{4}+sin\frac{11π}{4}+$…$+sin\frac{15π}{4}+sin\frac{16π}{4}$=$sin\frac{π}{4}+sin\frac{2π}{4}+sin\frac{3π}{4}+$…$+sin\frac{7π}{4}+sin\frac{8π}{4}$=0
所以f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）．
（2）解：由（1）可知，从第一项开始，每8项的和为0，
又∵2020=252×8+4
∴f（1）+f（2）+…+f（2020）=252×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+0=1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的周期性及运用，考查三角函数的求值，考查运算能力，属于中档题．