Question

19．若三个互不相等的正数x₁，x₂，x₃满足x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），且m₁，m₂，m₃三个数成等差数列，则下列关系正确的是（　　）

• A． x₁•x₃=x₂²
• B． x₁•x₃＜x₂²
• C． x₁•x₃＞x₂²
• D． x₁•x₃≥x₂²

Answer 1

分析 m₁，m₂，m₃三个数成等差数列，可得：2m₂=m₁+m₃．根据三个互不相等的正数x₁，x₂，x₃满足x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），可得2（x₂+lnx₂）=x₁+lnx₁+x₃+lnx₃，利用基本不等式的性质可得：2x₂+$ln{x}_{2}^{2}$＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{3}}$+ln（x₁x₃），再利用函数f（x）=x+lnx在（0，+∞）上单调递增，即可得出．

解答 解：∵m₁，m₂，m₃三个数成等差数列，
∴2m₂=m₁+m₃，
∵三个互不相等的正数x₁，x₂，x₃满足x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），
∴x₁+lnx₁=m₁，x₂+lnx₂=m₂，x₃+lnx₃=m₃，
∴2（x₂+lnx₂）=x₁+lnx₁+x₃+lnx₃，
∴2x₂+$ln{x}_{2}^{2}$＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{3}}$+ln（x₁x₃），
由于函数f（x）=x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴2x₂＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{3}}$，可得${x}_{2}^{2}$＞x₁x₃．
故选：B．

点评 本题考查了对数函数的运算性 不等式的性质质、等差数列的性质、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．