已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.
(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;
(2)是否存在两定点F1,F2使|||-|||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.
(1) 或 (2) 存在 k=2
解析解:(1)由余弦定理知:
cos∠ACB==⇒∠ACB=.
因为||2==(λ+μ)2
=λ2+16μ2+2λμ·
=λ2+16μ2+1≥3.
所以||≥,当且仅当λ=±1时,“=”成立.
故||的最小值是,
此时<,>=<,>=或.
(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),
设动点M(x,y),
因为=λ+μ,
所以⇒
再由λμ=知-y2=1,
所以,动点M的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,
即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使|||-|||恒为常数2,即k=2.
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已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求实数m满足的条件;
若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
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如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量),则P点斜坐标为(x,y).
(1)若P点斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;
(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
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已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
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已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x,使两向量,共线.
(2)当两向量与共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?
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