Question

8．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，前100项和S₁₀₀=10000．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={2^{{a_n}+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的前n项和公式，即可求得d，利用等差数列前n项和公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由${b_n}={2^{{a_n}+1}}={2^{2n}}={4^n}$，利用等比数列前n项和公式，即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ 100{a_1}+50×99d=100.\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2.\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）∵${b_n}={2^{{a_n}+1}}={2^{2n}}={4^n}$，
∴${S_n}={4^1}+{4^2}+{4^3}+…+{4^n}=\frac{{4（{{4^n}-1}）}}{4-1}=\frac{4}{3}（{{4^n}-1}）$．
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等差数列及等比数列前n项和公式，等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题．