Question

【题目】已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①：结合导数，用函数的单调性和奇偶性，求得的值域；②利用导数，证得方程有两个不等实根；③根据为偶函数，故可先考虑的情况，再由对称性得到的情况.当时，首先确定是函数的零点，令，分离常数，利用导数求得的取值范围.再根据对称性，求得的取值范围.④利用导数，求得过的切线的条数.

①函数的定义域为，且，所以为偶函数，图像关于轴对称.当时，，，.令解得，所以在上递减，在上递增，，所以，所以在上单调递增，从而.由于为偶函数，所以在上单调递减，且.所以的值域是.故①正确.

②显然，是方程的根.方程可化为.当时，即.根据①的分析，结合图像可知，当时与的图像没有公共点.故只需考虑的情况.由得，即.构造函数，，，令，解得.所以在上递减，在上递增，且，所以存在，使得.故在上递减，在上递增.，所以存在，使.综上所述，当时，方程有两个不等实根成立，故②正确.

③为偶函数，故可先考虑的情况.当时，函数为，故方程有三个不相等的实数根.首先是方程的根.

先证：令，，，令解得.所以在上递减，在上递增.，当，.若，即，则在区间上先减后增，在区间上至多只有两个零点，不符合题意.故.

故下证：当时，由得有两个不同的实数根.构造函数，.令，，,所以在上单调递增，所以当时，.所以由可知在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以.

综上所述，的取值范围是.由于为偶函数，根据函数图像的对称性可知的取值范围是.故③正确.

④当时，设经过点的切线的切点为，，，故切线方程为，将代入上式得，化简得.令，，,所以在上单调递增.所以方程解得或.所以当时，有两条切线.根据为偶函数，所以当时，也有两条切线方程. 所以经过有四条直线与相切，④错误.

特别的，当时，，，即当时，在处的切线的斜率为.当时，，即当时，在处的切线的斜率为.

故答案为：①②③