Question

5．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，SA⊥平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点，SA=AD=2CD=4AB=4．
（1）求证：EF∥平面SAB；
（2）求证：BE⊥平面SCD；
（3）求二面角B-SD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过证明EF∥AB，然后证明EF∥平面SAB；
（2）连接AF，证明AF⊥SD，AF⊥EF，推出AF⊥平面SCD，然后证明BE⊥平面SCD；
（3）通过二面角B-SD-C的平面角就是90°减去B-SD-A，然后最后求解即可．

解答 证明：（1）因为四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F分别是SC、SD的中点，可得EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
所以EF$\stackrel{∥}{=}$AB，AB?平面SAB，∴EF∥平面SAB；
（2）连接AF，由（1）可得EF$\stackrel{∥}{=}$AB，∴ABEF是平行四边形，AB⊥AD，F分别是SD的中点，SA=AD．∴AF⊥SD，AB⊥AD，SA⊥平面ABCD，可得AB⊥平面SAD，∴AB⊥AF，∴AF⊥EF，∴AF⊥平面SCD，BE∥AF，∴BE⊥平面SCD；
（3）由（2）可得：EF⊥平面SAD，所以二面角B-SD-C的平面角就是90°减去B-SD-A，sin∠BFA=$\frac{AB}{BF}$，二面角B-SD-C的平面角为α，
SA=AD=2CD=4AB=4．
AB=2，AF=2$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{4+8}$=3$\sqrt{2}$
cosα=cos（90°-∠BFA）=sin∠BFA=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．