Question

17．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且$\frac{BR}{RH}$=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．
（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$，建立方程，即可得出结论．

解答 （I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，
图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，
∵G为BD中点，∴DG=2GH．
图2中，∵$\frac{PR}{GH}=\frac{BR}{RH}$=2，∴△PDH中，GR∥PD，
∴GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），
∵$\frac{PR}{RH}$=λ，∴R（$\frac{λ}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$，0），
∴$\overrightarrow{RF}$=（$\frac{2+λ}{1+λ}$，-$\frac{λ}{1+λ}$，0），
∵$\overrightarrow{EF}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，-4），
设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{2y-4z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$，
∴$\frac{\frac{4}{1+λ}}{3\sqrt{（\frac{2+λ}{1+λ}）^{2}+（-\frac{λ}{1+λ}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$，
∴存在正实数λ=$\frac{1}{3}$，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．