Question

14．求证：函数f（x）=-$\frac{3}{2x}$-1在区间（-∞，0）上是单调增函数．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＜x₂＜0，然后作差，通分，从而证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．

解答 证明：设x₁＜x₂＜0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{2{x}_{2}}-\frac{3}{2{x}_{1}}=\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分．