Question

已知函数（）．

（1）当时，求的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，

求证：（其中是的导函数）．

Answer 1

（1）当时，，，切点坐标为，

切线的斜率，则切线方程为，即． 

（2），则，

∵，故时，．当时，；当时，．

故在处取得极大值． 

又，，，则，

所以，在上的最小值是                       

在上有两个零点的条件是，解得

所以实数的取值范围是 .                  

（3）因为的图象与轴交于两个不同的点

所以方程的两个根为，则，两式相减得

，又，则

下证（*），即证明

即证明在上恒成立       

因为又，所以

所以，在上是增函数，则，从而知

故，即成立