Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-1，且 4a_n+1+2S_n=-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_2n}的前n项和为T_n，数列{a_2n-1}的各项和为S，若不等式Tn＜k•S对于一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）求出a₂，再由数列的通项和前n项和的关系，运用等比数列的通项公式求出通项；
（2）运用等比数列的求和公式，分别求得数列{a_2n}的前n项和为T_n，数列{a_2n-1}的各项和为S，再求

Tn

S

，判断单调性，求出最大值即可得到．

解答： 解：（1）由于4a_n+1+2S_n=-1（n∈N^*），
则n=1时，4a₂+2a₁=-1，解得，a₂=

1

4

，
n＞1时，4a_n+2S_n-1=-1，又4a_n+1+2S_n=-1（n∈N^*），
两式相减，得，4a_n+1-4a_n+2S_n-2S_n-1=0，即有a_n+1=

1

2

a_n，
则a_n=a₂•（

1

2

）^n-2=

1

4

•（

1

2

）^n-2=（

1

2

）ⁿ，（n＞1），
即有a_n=

-1，n=1 ( 1 2 )n，n＞1

；
（2）数列{a_2n}的前n项和为T_n=a₂+a₄+…+a_2n=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)，
数列{a_2n-1}的各项和为S=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=-

3

2

+

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=-

3

2

+

2

3

(1-

1

4n

)
不等式T_n＜k•S即为k＞

Tn

S

=

1 3 m

- 3 2 + 2 3 m

=

1 3

- 3 2m + 2 3

（m=1-

1

4n

），
易得m是n的递增数列，

1 3

- 3 2m + 2 3

是递减数列，
则当n=1时，取得最大值

1 3

- 3 2× 3 4 + 2 3

=-

1

4

，
由于不等式T_n＜k•S对于一切自然数n都成立，
则k＞-

1

4

．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式及运用，考查数列的单调性及运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．