Question

19．在数列{a_n}（n∈N^*）中，其前n项和为S_n，满足$2{S_n}={n^2}-n$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}+\sqrt{{a_{n+3}}}}}，n=2k-1\\ \frac{n+1}{{a_{n+1}^2•a_{n+3}^2}}，n=2k\end{array}\right.$（k为正整数），求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设得：$2{S_n}={n^2}-n$，所以$2{S_{n-1}}={（{n-1}）^2}-n-1$（n≥2），可得a_n=S_n-S_n-1（n≥2）．当n=1时，a₁=S₁=0，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题设得：$2{S_n}={n^2}-n$，所以$2{S_{n-1}}={（{n-1}）^2}-n-1$（n≥2）
所以a_n=S_n-S_n-1=n-1（n≥2）
当n=1时，a₁=S₁=0，数列{a_n}是a₁=0为首项、公差为1的等差数列
故a_n=n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}+\sqrt{{a_{n+3}}}}}，n=2k-1\\ \frac{n+1}{{a_{n+1}^2•a_{n+3}^2}}，n=2k\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}}{2}，n=2k-1\\ \frac{1}{4}（{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}），n=2k\end{array}\right.$．
T_2n=b₁+b₂+b₃+…+b_2n=$\frac{1}{2}（{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}}\right.$$-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}…$$\left.{+\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}）$$+\frac{1}{4}[{（{\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}}）+（{\frac{1}{4^2}-\frac{1}{6^2}}）}\right.$$+（{\frac{1}{6^2}-\frac{1}{8^2}}）+…$$\left.{+（{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}）}]$
=$\frac{{\sqrt{n+2}-1}}{2}+\frac{1}{16}$$-\frac{1}{{4{{（{n+2}）}^2}}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．