Question

1．将长度为1m的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，求使正方形和圆形的面积之和最小的正方形的边长．

Answer 1

分析 正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点--一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．

解答 解：设正方形周长为x，则圆的周长为1-x，半径r=$\frac{1-x}{2π}$．
∴S_正=（$\frac{x}{4}$）²=$\frac{{x}^{2}}{16}$，S_圆=π•$\frac{（1-x）^{2}}{4{π}^{2}}$．
∴S_正+S_圆=$\frac{（π+4）{x}^{2}-8x+4}{16π}$（0＜x＜1）．
∴当x=$\frac{4}{π+4}$时有最小值，此时正方形的边长为$\frac{1}{π+4}$m．

点评 本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．