Question

10．椭圆E经过两点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k₁，直线BQ的斜率为k₂，求证：k₁+k₂=0；
（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得$\frac{QA}{QB}$=$\frac{PA}{PB}$恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n，利用待定系数法能求出椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$=1，利用点差法能证明k₁+k₂=0．
（3）当l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，设Q（x₀，0），由已知推导出${x}_{0}=\frac{2}{t}$，从而得到存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（$\frac{2}{t}$，0）．再证明对任意直线l，均有$\frac{QA}{QB}=\frac{PA}{PB}$．

解答 解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n，
∵椭圆E经过两点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{1}{2}n=1}\\{\frac{1}{2}m+\frac{3}{4}n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{2}$，n=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$=1，
由题意P（1，0），Q（2，0），
∵$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{BP}$，∴（x₁-1，y₁）∥（x₂-1，y₂），
∴x₁y₂-x₂y₁=y₁-y₂，
∵（x₁y₂-x₂y₁）（x₁y₂+x₂y₁）=${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$
=（2-y₁²）${{y}_{2}}^{2}$-（2-${{y}_{2}}^{2}$）${{y}_{1}}^{2}$=$2{{y}_{2}}^{2}-2{{y}_{1}}^{2}$，
∴（x₁y₂+x₂y₁）（y₁-y₂）=${{2y}_{2}}^{2}-2{{y}_{1}}^{2}$=2（y₁-y₂）（y₁+y₂），
若y₁=y₂，则k₁=k₂=0，结论成立．
若y₁≠y₂，则x₁y₂+x₂y₁=2（y₁+y₂），
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0．
（3）当l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有$\frac{QC}{QD}$=$\frac{PC}{PD}$，
∴QC=QD，∴Q在x轴上，设Q（x₀，0），
当直线l与y轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），
由$\frac{OM}{ON}=\frac{PM}{PN}$，有|$\frac{{x}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$|=|$\frac{\sqrt{2}-t}{\sqrt{2}+t}$|，
解得${x}_{0}=\frac{2}{t}$，
∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（$\frac{2}{t}$，0）．
下面证明：对任意直线l，均有$\frac{QA}{QB}=\frac{PA}{PB}$，
记直线AQ的斜率为k₁，直线BQ的斜率为k₂，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$=1．
由题意P（t，0），Q（$\frac{2}{t}$，0），
∵$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{BP}$，∴（x₁-t，y₁）∥（x₂-t，y₂），
∴x₁y₂-x₂y₁=t（y₁-y₂），
∵（x₁y₂-x₂y₁）t（y₁-y₂）=$2{{y}_{2}}^{2}-2{{y}_{1}}^{2}$=2（y₁-y₂）（y₁+y₂），
若y₁=y₂，则k₁=k₂=0，
若y₁≠y₂，则x₁y₂+x₂y₁=$\frac{2}{t}（{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{2}{t}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{2}{t}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}-\frac{2}{t}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}-\frac{2}{t}）（{x}_{2}-\frac{2}{t}）}$=0，
∵点B关于x轴对称的点B′（-x₂，y₂），∴${k}_{QA}={k}_{Q{B}^{'}}$，∴Q，A，B三点共线，
∴$\frac{QA}{QB}$=$\frac{QA}{Q{B}^{'}}$=$\frac{|{y}_{1}|}{|{y}_{2}|}$=$\frac{PA}{PB}$，
∴对任意直线l，均有$\frac{QA}{QB}=\frac{PA}{PB}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和为定值的证明，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、待定系数法的合理运用．