Question

19．已知点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{y-1≤0}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域上运动，则z=x²+y²的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{5}$，4]
• B． [$\frac{4}{5}$，5]
• C． [$\frac{4}{5}$，6]
• D． [$\frac{3}{5}$，5]

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，根据z=x²+y²的几何意义求出z的范围即可．利用数形结合进行求解即可．

解答 解：解：画出满足条件的平面区域，如图示
z=x²+y²的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，
显然A（2，1）到原点的距离最大，此时z=5，
点O到直线BC的距离最小，
设原点到直线x+2y-2=0的距离是d，
则d=$\frac{|-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故z的取值范围是：[$\frac{4}{5}$，5]．
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及点到直线距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．