Question

15．如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AK}$，过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=n$\overrightarrow{AN}$，则m+n=4．

Answer 1

分析 可由M，K，N三点共线得到$\overrightarrow{AK}=（1-λ）\overrightarrow{AM}+λ\overrightarrow{AN}$，而由AO为BC边上的中线便可得到$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，从而便可根据条件得出$\overrightarrow{AK}=\frac{m}{4}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{4}\overrightarrow{AN}$，这样由平面向量基本定理便可得出m，n和λ的关系，消去λ便可求出m+n的值．

解答 解：M，K，N三点共线；
∴$\overrightarrow{AK}=（1-λ）\overrightarrow{AM}+λ\overrightarrow{AN}$；
AO是BC边上的中线；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
又$\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{AK}，\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$；
∴$2\overrightarrow{AK}=\frac{m}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{2}\overrightarrow{AN}$；
∴$\overrightarrow{AK}=\frac{m}{4}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{4}\overrightarrow{AN}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{m}{4}}\\{λ=\frac{n}{4}}\end{array}\right.$；
∴$1=\frac{m+n}{4}$；
∴m+n=4．
故答案为：4．

点评 考查A，B，C三点共线时，便有$\overrightarrow{OB}=（1-λ）\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OC}$，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．