Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，求证：直线BE⊥平面AA₁C₁C
（3）若四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求BC的长度．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证明线面平行，利用线面平行的判定定理进行证明，关键找到线线平行．
（2）要证明线面垂直，利用线面垂直的判定定理进行证明，关键找到线线垂直．
（3）利用棱锥的体积公式直接进行求解．

解答： （1）证明：连接B₁C 设B₁C∩BC₁=O，连接OD
∵BCC₁ B₁是平行四边形∴点O是B₁ C的中点
∵D为AC的中点∴OD是△AB₁C的中位线．
∴AB₁∥OD
AB₁?平面BC₁D  OD?平面BC₁D
AB₁∥平面BC₁D；
（2）∵A₁A⊥平面ABC，A₁A?平面AA₁C₁C，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC
又平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，
∴直线BE⊥平面AA₁C₁C
（3）由（2）知BE的长度是四棱锥B-AA₁C₁D的体高A₁A=AB=2．设BC=x＞0．
在Rt△ABC中，AC•BE=AB•BC，∴BE=

2x

AC

∴SAA1C1D=

1

2

•(A1C1+AD)•A1A=

1

2

3

2

AC•2=

3

2

AC，
∴VAA1C1D=

1

3

SAA1C1D•BE=

1

3

•

3

2

AC•

2x

AC

=3，
∴x=3
即∴BC=3
故：（1）（2）略
（3）BC=3

点评：本题考查的知识点：线面平行的判定，线面垂直的判定，几何体中棱锥的体积公式，要灵活应用，属于高考的常见题型．