Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n满足：S_n=2n-a_n，n∈N^*
（Ⅰ）计算a₁、a₂、a₃、a₄的值，并猜想a_n的表达式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）直接由已知结合数列递推式计算a₁、a₂、a₃、a₄的值，并猜想a_n的表达式；
（Ⅱ）由数列递推式得到an=

1

2

an-1+1（n≥2），然后构造等比数列{a_n-2}，由等比数列的通项公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=2n-a_n，得S₁=2-a₁，即a₁=1．
S₂=a₁+a₂=4-a₂，解得a2=

3

2

．
S₃=a₁+a₂+a₃=6-a₃，解得a3=

7

4

．
S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=8-a₄，解得a4=

15

8

．
猜想：an=

2n-1

2n-1

．
（Ⅱ）由S_n=2n-a_n，得
S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2）．
两式作差得，an=

1

2

an-1+1（n≥2）．
即an-2=

1

2

(an-1-2)(n≥2)．
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
∴an-2=-(

1

2

)n-1，
即an=2-(

1

2

)n-1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了归纳猜想思想方法，是中档题．