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(本小题满分14分)
已知双曲线和圆(其中原点为圆心),过双曲线上一点引圆的两条切线,切点分别为
(1)若双曲线上存在点,使得,求双曲线离心率的取值范围;
(2)求直线的方程;
(3)求三角形面积的最大值.
(本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等.)
解:(1)因为,所以,所以.…………………1分
及圆的性质,可知四边形是正方形,所以
因为,所以,所以.……………3分
故双曲线离心率的取值范围为.…………………………………………………………4分
(2)方法1:因为
所以以点为圆心,为半径的圆的方程为.………5分
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线,……………………………………………6分
所以联立方程组………………………………………………7分
消去,即得直线的方程为.………………………………………………8分
方法2:设,已知点

因为,所以,即.…………………………………………5分
整理得
因为,所以.……………………………………………………………6分
因为,根据平面几何知识可知,
因为,所以.………………………………………………………………………7分
所以直线方程为

所以直线的方程为.………………………………………………………………8分
方法3:设,已知点

因为,所以,即.…………………………………………5分
整理得
因为,所以.……6分
这说明点在直线上.…………7分
同理点也在直线上.
所以就是直线的方程.……8分
(3)由(2)知,直线的方程为
所以点到直线的距离为
因为
所以三角形的面积.……………………………………10分
以下给出求三角形的面积的三种方法:
方法1:因为点在双曲线上,
所以,即

所以.………………………………………………………………………………………11分
因为
所以当时,,当时,
所以上单调递增,在上单调递减.……………………………………12分
,即时,,…………………………………13分
,即时,
综上可知,当时,;当时,.………14分
方法2:设,则.…………………………………………11分
因为点在双曲线上,即,即
所以
,则
所以当时,,当时,
所以上单调递减,在上单调递增.…………………………………12分
,即时,,……………………………………13分
,即时,
综上可知,当时,;当时,.………14分
方法3:设,则.…………………………………11分
因为点在双曲线上,即,即
所以

所以上单调递增,在上单调递减.………………………………12分
因为,所以
,即时,,此时
………………………………13分
,即时,,此时
综上可知,当时,;当时,.………14分
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