Question

△ABC中，BC边上的高AD=BC，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

b

c

+

c

b

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式即可得出最小值2．又S=

1

2

bcsinA=

1

2

a•AD=

1

2

a2，可得

a2

bc

=sinA．由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

．可得

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=

b2+c2-a2

cb

+

a2

bc

=2cosA+sinA=

5

sin(A+θ)≤

5

，其中θ=arctan2．再利用三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵b＞0，c＞0，∴

b

c

+

c

b

≥2

b c • c b

=2，当且仅当b=c时取等号．即

b

c

+

c

b

的最小值为2．
又S=

1

2

bcsinA=

1

2

a•AD=

1

2

a2，∴

a2

bc

=sinA．
又余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

．
∴

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=

b2+c2-a2

cb

+

a2

bc

=2cosA+sinA=

5

sin(A+θ)≤

5

，其中θ=arctan2．
综上可得：

b

c

+

c

b

的取值范围是[2，

5

]．
故答案为：[2，

5

]．

点评：本题综合考查了基本不等式、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性有界性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．