Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，3）、B（1，2）、C（-3，2）．
（Ⅰ）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（Ⅱ）当t为何值时，$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OC}$垂直；
（Ⅲ）当t为何值时，t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量坐标运算法则求出$\overrightarrow{AB}$=（3，-1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，-1），从而$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=（2，-2），$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=（4，0），由此能求出以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
（Ⅱ）由平面向量坐标运算法则求出$\overrightarrow{OC}$=（-3，2），$\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{OC}$=（3+3t，-1-2t），再由$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OC}$垂直，能求出t的值．
（Ⅲ）利用平面向量坐标运算法则求出t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（1-2t，2+3t），2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-5，4），再由t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，能求出t的值．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-2，3）、B（1，2）、C（-3，2），
∴由题设知$\overrightarrow{AB}$=（3，-1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=（2，-2），$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=（4，0），
∴|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=4，
∴以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为2$\sqrt{2}$，4．
（Ⅱ）∵O（0，0），∴$\overrightarrow{OC}$=（-3，2），
$\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{OC}$=（3+3t，-1-2t），
∵$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OC}$垂直，
∴（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OC}$=-3（3+3t）+2（-1-2t）=0，
解得t=-$\frac{11}{13}$．
（Ⅲ）∵t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（1-2t，2+3t），2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-5，4），
t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，
∴4（1-2t）+5（2+3t）=0，
解得t=-2．

点评 本题考查四边形的对角线的长的求法，考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．