Question

15．奇函数f（x）是R上的减函数，且f（x²-4x+4）+f（y²+4y）≥0，则x²+y²的最小值是12-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据函数的单调性和奇偶性把函数问题转化为二元二次不等式，设点P的坐标为（x，y），进而根据不等式的形式判断点P是以C（2，-2）为圆心，2为半径的圆上及以内的点，进而得到$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为|OC|-r，进而求得x²+y²的最小值．

解答 解：∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
f（x²-4x+4）+f（y²+4y）≥0即为
f（x²-4x+4）≥-f（y²+4y）=f（-y²-4y），
∵f（x）是R上的减函数，
∴x²-4x+4≤-y²-4y，整理得（x-2）²+（y+2）²≤4，
设点P的坐标为（x，y），
则点P是以C（2，-2）为圆心，2为半径的圆上及以内的点，
则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$为点P到原点的距离，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为|OC|-r=2$\sqrt{2}$-2，
∴x²+y²的最小值为（2$\sqrt{2}$-2）²=12-8$\sqrt{2}$．
故答案为：12-8$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的应用及解不等式的问题．解题的关键是根据不等式的形式得到不等式表示的几何意义．