Question

【题目】如图,在三棱柱中,平面为正三角形, 侧面是边长为的正方形,为的中点.

（1）求证平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）试判断直线与平面的位置关系,并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）直线与平面相交.证明见解析

【解析】

（1）根据线面平行的判定定理,在面内找一条直线平行于即可．所以连接交与点，再连接，由中位线定理可得，即可得证；

（2）取的中点，连接．分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；

（3）根据平面的法向量与直线的方向向量的关系，即可判断直线与平面的位置关系．

（1）由题意，三棱柱为正三棱柱．

连接． 设，则是的中点．连接， 由，分别为和的中点，得．又因为平面，平面，

所以平面．

（2）取的中点，连接．

因为为正三角形，且为中点，所以．

由，分别为和的中点，得，

又因为平面， 所以平面，即有，．

分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

设平面的法向量，

由，，得

令，得．

设平面的法向量，

由，，得

令，得．

设二面角的平面角为，则 ．

由图可得二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．

（3）结论：直线与平面相交．

证明：因为，，且，

所以．

又因为平面的法向量，且，

所以与不垂直，

因为平面，且与平面不平行，

故直线与平面相交．