Question

10．设f为R⁺→R⁺的函数，对任意x∈R⁺，f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|，1≤x≤3，A={a|f（a）=f（2015），a∈R），则集合A中的最小元素是415．

Answer 1

分析 依条件得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，1≤x≤2}\\{3-x，2＜x≤3}\end{array}\right.$，讨论当3≤x≤6时，令t=$\frac{x}{3}$，则1≤t≤2，由条件可得f（x）（2＜x≤6）的解析式，依此类推可得6＜x≤18，…，1458＜x≤4374的解析式，求得f（2015）的值，推理判断即可得到所求a的最小值．

解答 解：依条件得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，1≤x≤2}\\{3-x，2＜x≤3}\end{array}\right.$
当3≤x≤6时，令t=$\frac{x}{3}$，则1≤t≤2，
此时f（x）=f（3t）=3f（t）=3（t-1）=x-3，
即得f（x）=|x-3|，2＜x≤6．
当6＜x≤18时，令t=$\frac{x}{3}$，则2＜t≤6，
于是f（x）=f（3t）=3f（t）=3|t-3|=|x-9|，
依此类推可得
f（x）=|x-1|，1≤x≤2，
f（x）=|x-3|，2＜x≤6，
f（x）=|x-9|，6＜x≤18，
f（x）=|x-27|，18＜x≤54，
f（x）=|x-81|，54＜x≤162，
f（x）=|x-243|，162＜x≤486，
f（x）=|x-729|，486＜x≤58，
f（x）=|x-2187|，1458＜x≤4374，
∴f（2015）=2187-2015=172，
由于162-81＜172，486-243＞172，而243-162＜172，
∴最小的满足f（a）=f（2015）的实数
a=243+172=415．
故答案为：415．

点评 本题考查函数的解析式及运用，同时考查集合的元素的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．