Question

6．过抛物线y²=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（　　）

• A． ±1
• B． $±\sqrt{3}$
• C． ±2
• D． $±\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据抛物线的定义可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=$\frac{π}{6}$，则∠CAD=$\frac{π}{3}$，则∠xFB=$\frac{π}{3}$，直线AB的斜率k=tan∠xFB=$\sqrt{3}$，同理即可求得直线AB的斜率-$\sqrt{3}$．

解答 解：抛物线y²=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=-1，准线l与x轴交于H点，
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，
|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，
则∠ACD=$\frac{π}{6}$，则∠CAD=$\frac{π}{3}$，
∴∠xFB=$\frac{π}{3}$，
则直线AB的斜率k=tan∠xFB=$\sqrt{3}$，
同理可知：直线AB的斜率-$\sqrt{3}$，
∴直线AB的斜率±$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．