Question

7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{{1+2{{cos}^2}x}}$，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（ I）写出曲线C₁与直线l的直角坐标方程；
（ II）设Q为曲线C₁上一动点，求点Q到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （ I）利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C₁与直线l的直角坐标方程；
（ II）设$Q（cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，则点Q到直线l的距离$d=\frac{{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}$，即可求点Q到直线l距离的最小值．

解答 解：（ I）线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{{1+2{{cos}^2}x}}$，可得化为${C_1}=3{x^2}+{y^2}=3$，
直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，可化为l：x+y=4．…（4分）
（ II）设$Q（cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，则点Q到直线l的距离$d=\frac{{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}$
=$\frac{{|2（\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）-4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．
当且仅当$θ+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$，
即$θ=2kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$时，Q点到直线l距离的最小值为$\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查点到直线的距离公式的运用，考查三角函数知识，属于中档题．