Question

18．已知幂函数f（x）=xⁿ的图象过点（8，$\frac{1}{4}$），且f（a+1）＜f（2），则a的范围是（　　）

• A． -3＜a＜1
• B． a＜-3或a＞1
• C． a＜1
• D． a＞1

Answer 1

分析 根据题意，由函数图象过点（8，$\frac{1}{4}$），可得8ⁿ=$\frac{1}{4}$，解可得n的值，即可得幂函数f（x）的解析式，又由f（a+1）＜f（2），结合其函数图象分析可得必有|a+1|＞2，解可得a的值，即 可得答案．

解答 解：根据题意，幂函数f（x）=xⁿ的图象过点（8，$\frac{1}{4}$），
则必有8ⁿ=$\frac{1}{4}$，则n=log₈$\frac{1}{4}$=-$\frac{2}{3}$，
故幂函数f（x）的解析式为f（x）=${x}^{-\frac{2}{3}}$，
若f（a+1）＜f（2），
必有|a+1|＞2，
解可得：a＜-3或a＞1，
故选：B．

点评 本题考查幂函数的图象与性质，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是求出n的值，分析得到幂函数的图象性质．