Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，得到a_n+1-a_n=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由此利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁，能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）+（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）+…+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$
=1-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$，
当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$成立，
故a_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．