Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0），在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）-（2^m）•x在[2，4]上单调，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数对称轴为x=2，当a＞0时，函数开口向上，在区间[2，3]单增，则可知在2处去最小值，在处去最大值，分类讨论即可求出a，b的值；
（2）若b＜1，则根据（1）中求得值，即可确定a，b的值，从而求出函数g（x）解析式，根据函数的单调性，可求出m的取值范围．

解答：解（1）f（x）=a（x-1）²+2+b-a
①当a＞0时，f（x）在[2，3]上为增函数
故

f(3)=2 f(2)=5

   ?   

9a-6a+2+b=5 4a-4a+2+b=2

  ?

a=1 b=0

②当a＜0时，f（x）在[2，3]上为减函数
故

f(3)=2 f(2)=2

?

9a-6a+2+b=2 4a-4a+2+b=5

?

a=-1 b=3

（2）∵b＜1
∴a=1b=0即f（x）=x²-2x+2g（x）=x²-2x+2-（2^m）x=x²-（2+2^m）x+2

2+2m

2

≤2或

2m+2

2

≥4，
∴2^m≤2或2^m≥6，即m≤1或m≥log₂⁶

点评：此题主要考查函数的单调性及最值的计算．