Question

16．已知sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则cos（α-$\frac{π}{4}$）的值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• B． -$\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$或-$\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 根据题意，由同角三角函数基本关系式可得cosα的值，进而由余弦的和差公式cos（α-$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$+sinαsin$\frac{π}{4}$，代入sinα与cosα的值计算可得答案．

解答 解：根据题意，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则cosα=$\sqrt{{1}^{2}-si{n}^{2}α}$=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，cos（α-$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$+sinαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
同理当cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，cos（α-$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$+sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故选：D．

点评 本题考查余弦的和差公式的运用，注意由sinα求出cosα时，需要考虑cosα的符号．