Question

8．已知定义在R上的偶函数f（x），对任意x∈R满足f（x+1）=f（-x+1），当6≤x≤7时，f（x）=1g（x-5）；则方程f（x）-1gx=-1+1g5的实数根个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知的等式求得f（x）是周期为2的周期函数，且对称轴方程为x=1，在同一坐标系中作出函数的图象，即可得出结论．

解答 解：在f（1-x）=f（1+x）中，以x+1代x，得f（-x）=f（x+2），
又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期函数，且对称轴方程为x=1．
当6≤x≤7时，f（x）=1g（x-5），可得x＞0时，图象如图所示
在同一坐标系中作出g（x）=lgx-1+lg5，
由图象可得交点的个数为2，
故方程f（x）-1gx=-1+1g5的实数根个数为2，
故选：B．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，考查了数学结合的解题思想方法，是中档题．