Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，2）．
（1）求（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（-3，λ），若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$夹角为钝角，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，
（2）若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$夹角为钝角，则则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$＜0，问题得以解决．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，2），
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2-2，4-2）=（0，2），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2+2，4+2）=（4，6），
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0×4+2×6=12；
（2）若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$夹角为钝角，则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$＜0，
$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=（-3，λ）•（1，2）=-3+2λ＜0，即 λ＜$\frac{3}{2}$，
且$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$不能方向，即-3×2-λ≠0，解得λ≠-6，
故λ的范围为λ＞$\frac{3}{2}$，

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算，以及向量的夹角的问题，属于基础题．