Question

1．已知函数为奇函数，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中a∈R，θ∈（0，π），f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（$\frac{a}{4}$）=-$\frac{2}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{π}{4}$代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．
（2）利用f（$\frac{α}{4}$）=-$\frac{2}{5}$和函数的解析式可求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．

解答 解：（1）f（$\frac{π}{4}$）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1，
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x•（-sin2x）=-$\frac{1}{2}sin4x$，
∴f（$\frac{α}{4}$）=-$\frac{1}{2}$sinα=-$\frac{2}{5}$，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$+cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．