Question

19．已知$sinθ-cosθ=-\frac{1}{5}$
（1）求sinθcosθ的值．
（2）求sin³θ-cos³θ的值．
（3）当-π＜θ＜0时，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可得解．
（2）利用同角三角函数基本关系式及立方差公式即可得解．
（3）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出sinθ+cosθ的值，与已知等式联立求出sinθ与cosθ的值，即可确定出tanθ的值．

解答 解：（1）∵$sinθ-cosθ=-\frac{1}{5}$，
∴两边平方可得：1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，解得：sinθcosθ=$\frac{12}{25}$．
（2）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）=（-$\frac{1}{5}$）×（1+$\frac{12}{25}$）=-$\frac{37}{125}$．
（3）∵sinθcosθ=$\frac{12}{25}$，$sinθ-cosθ=-\frac{1}{5}$①．
∴由-π＜θ＜0，可得：-π＜θ＜$-\frac{π}{2}$，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{7}{5}$②，
联立①②，解得：sinθ=-$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握基本关系是解本题的关键．