Question

如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．

 

 

Answer 1

（1） ．（2）．（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）依题意，得，，，即得解；

（2）点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，可得． （*）

由已知，计算 ．

根据，知当时，取得最小值为．

由（*）式，，将代入圆的方程得到．

（3） 设，则直线的方程为：，

确定， ，计算 （**）

又由点与点在椭圆上， ，，代入（**）式，得： ．

试题解析：（1）依题意，得，，；

故椭圆的方程为 ． 3分

（2）点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以． （*） 4分

由已知，则，，

． 6分

由于，故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为：． 8分

（3） 设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：， 10分

故 （**） 11分

又点与点在椭圆上，故，， 12分

代入（**）式，得： ．

所以为定值． 14分

考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆的方程.