Question

2．求y=$\frac{{x}^{2}+8x+11}{{x}^{2}+7x+10}$（x＞-1）最大值．

Answer 1

分析 化简y=$\frac{{x}^{2}+8x+11}{{x}^{2}+7x+10}$=1+$\frac{x+1}{（x+2）（x+5）}$，换元x+1=t，t＞0；从而可得y=1+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$，从而利用基本不等式求其最值．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}+8x+11}{{x}^{2}+7x+10}$
=1+$\frac{x+1}{{x}^{2}+7x+10}$
=1+$\frac{x+1}{（x+2）（x+5）}$，
令x+1=t，t＞0；
则y=1+$\frac{t}{（t+1）（t+4）}$=1+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4，
（当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2，x=1时，等号成立），
∴1+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$≤1+$\frac{1}{9}$=$\frac{10}{9}$，
故y=$\frac{{x}^{2}+8x+11}{{x}^{2}+7x+10}$（x＞-1）的最大值为$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了换元法的应用．