Question

【题目】设函数，已知对任意，都有，且成立.令，其中为常数.

（1）当时，求函数的所有零点；

（2）当时，求函数的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，.（2）当时，；当时，.

【解析】

（1）由一元二次不等式在实数集上恒成立可构造不等式组求得，由二次函数关于对称可求得，进而得到；通过分类讨论可得解析式，令，解方程可求得所有零点；

（2）分类讨论得到解析式，通过对二次函数对称轴位置的分类讨论可得到在不同情况下的单调性，由单调性可确定可能的最小值点，通过对最小值点的函数值的大小的进一步讨论可最终确定最小值.

（1）恒成立，恒成立，，

即，，，

，的图象关于直线对称，，解得：，

.

当时，，

由得：或；

由得：；

的所有零点为，，.

（2）由得：，.

，.

①若，即，则在上单调递减，在上单调递增，

.

②若，即，则在和上单调递减，在和上单调递增.

当时，；

当时，.

，

当时，，；

当时，，.

综合①②知，当时，；当时，.