Question

设函数f(x)＝(x²＋ax＋b)e^x(x∈R)．
(1)若a＝2，b＝－2，求函数f(x)的极大值；
(2)若x＝1是函数f(x)的一个极值点．
①试用a表示b；
②设a＞0，函数g(x)＝(a²＋14)e^x＋4.若?ξ₁、ξ₂∈[0，4]，使得|f(ξ₁)－g(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）（2）①b＝－3－2a②1－＜a＜1＋.

(1)∵f′(x)＝(2x＋a)e^x＋(x²＋ax＋b)e^x＝[x²＋(2＋a)x＋(a＋b)]e^x，
当a＝2，b＝－2时，f(x)＝(x²＋2x－2)e^x，
则f′(x)＝(x²＋4x)e^x，
令f′(x)＝0得(x²＋4x)e^x＝0，
∵e^x≠0,∴x²＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，
列表如下：

x	(－∞，－4)	－4	(－4，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

∴当x＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)_极大值＝.
(2)①由(1)知f′(x)＝[x²＋(2＋a)x＋(a＋b)]e^x.
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，
即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.
②由①知f′(x)＝e^x[x²＋(2＋a)x＋(－3－a)]＝e^x(x－1)[x＋(3＋a)]，
当a＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增，
∴函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a＋2)e.
∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e⁴＞0，
∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，
即[－(a＋2)e，(2a＋13)e⁴]．
又g(x)＝(a²＋14)e^x＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a²＋14)e⁴，(a²＋14)e⁸]，
∴(a²＋14)e⁴－(2a＋13)e⁴＝(a²－2a＋1)e⁴＝(a－1)²e⁴≥0，
∴存在ξ₁、ξ₂∈[0，4]使得|f(ξ₁)－g(ξ₂)|＜1成立只须(a²＋14)e⁴－(2a＋13)e⁴＜1?(a－1)²e⁴＜1(a－1)²＜?1－＜a＜1＋.