Question

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设⊙O所在的平面为α，证明PA⊥BC，AC⊥BC，然后证明BC⊥平面PAC，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PBC．
（2列出三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC×PA求出底面面积，棱锥的高，即可得到结果．

解答： 解：（1）证明：设⊙O所在的平面为α，
依题意，PA⊥α，BC?α，∴PA⊥BC…（2分）
∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，∴AC⊥BC…（3分）
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC…（5分）
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC…（7分）
（2）∵PA⊥α，∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC×PA…（9分）
∵AB=2，∠ABC=30°，AC⊥BC，∴AC=1，BC=

3

…（11分）
S△ABC=

1

2

×AC×BC=

3

2

…（13分）
V=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．