Question

（本小题满分14分）

已知函数在点处的切线为．

（1）求实数，的值；

（2）是否存在实数，当时，函数的最小值为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）若，求证：．

Answer 1

（1）；（2）存在，的取值范围为；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导，进而可得，即可解出，的值；（2）先对函数求导，再对的值进行分类讨论，即可得的取值范围；（3）结合（2），可证，进而可证，即可证.

试题解析：（1）【解析】
∵，其定义域为，

∴. 1分

依题意可得 2分

解得. 4分

（2）【解析】
，

∴ . 5分

① 当时，，则在上单调递减，

∴. 6分

② 当时，，则在上单调递减,

∴. 7分

③当时，则时，；时，，

∴在上单调递减，在上单调递增.

故当时，的最小值为.

∵.

∴. 8分

综上所述，存在满足题意，其取值范围为. 9分

（3）证法1：由（2）知，当时，在上单调递减,

∴ 时，, 即. 10分

∵ ,

∴ . 11分

∴ . 12分

∴ . 13分

∵ ,

∴. 14分

证法2：

设，

则.

当，， 10分

∴在上单调递减

∴. 11分

∴时，. 12分

,

∴. 13分

,

∴. 14分

考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数证明不等式.